大家接觸到控制理論時(shí)常感覺枯燥乏味，昌暉儀表網(wǎng)技術(shù)文庫(kù)欄目以大話形式推出一系列介紹控制理論的文章，分別介紹線性控制、最優(yōu)控制、離散控制模型與辨識(shí)、自適應(yīng)控制模型預(yù)估控制方面的內(nèi)容。

大話現(xiàn)代控制理論之最優(yōu)控制篇
搞控制的有三波人：電工出身的，化工出身的，還有應(yīng)用數(shù)學(xué)出身的。在卡爾曼之前，電工出身的占主導(dǎo)地位，數(shù)學(xué)家們還在象牙塔里打轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，不知道外面世界的精彩，化工出身的則還對(duì)控制理論懵懵懂懂，還在“實(shí)干”呢?？柭?，一大批數(shù)學(xué)出身的人利用對(duì)數(shù)學(xué)工具的熟悉，轉(zhuǎn)攻控制理論。一時(shí)間，控制理論的數(shù)學(xué)化似乎成了“天下大勢(shì)，浩浩蕩蕩，順我者昌，逆我者亡”了。在狀態(tài)空間的框架下，多變量的問題容易研究，很快被一掃而光，剩下的都是難啃的硬骨頭，于是最優(yōu)化成為控制理論的新時(shí)尚。

對(duì)于一根給定的曲線，一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，就是這個(gè)曲線的極點(diǎn)；再對(duì)這一極點(diǎn)求二階導(dǎo)數(shù)，就可以確定這是最大點(diǎn)、最小點(diǎn)還是駐點(diǎn)(單調(diào)上升或者下降曲線中一個(gè)過渡的水平段)。這是牛頓老爺子就整明白的東東，現(xiàn)在高中或大學(xué)人人都學(xué)過這一套。但是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是一個(gè)微分方程，對(duì)微分方程求一階導(dǎo)數(shù)為零(采用變分法或所謂的歐拉方程。用變分法可以計(jì)算出兩點(diǎn)之間最小距離為直線，還可以計(jì)算出最小阻力的下滑曲線是拋物線。很奇妙的東西，但這東西用起來不方便。實(shí)際的最優(yōu)控制不大直接使用變分。

俄羅斯是一個(gè)奇怪的地方。俄國(guó)人要么蔫蔫的，要么瘋狂的。俄羅斯的悲劇文學(xué)看得你也郁悶地想去自殺。據(jù)說《安娜·卡列尼娜》原著連載到最后，真有人追隨安娜去臥軌了。但是俄國(guó)人要是搭錯(cuò)筋整出一個(gè)喜劇呢？那你要么跟著瘋狂，要么被逼瘋狂。就是這么一個(gè)地方，除了托爾斯泰、柴可夫斯基、普希金、列賓等文藝巨璧外，也盛產(chǎn)數(shù)學(xué)家，其中兩個(gè)是列夫·龐特里亞京和學(xué)控制的人老惦記著的亞歷山大·李亞普諾夫。

龐特里亞京的極大值原理聽起來嚇人，說白了其實(shí)很簡(jiǎn)單?？匆娔巧?/span>了嗎？山頂就是最高點(diǎn)(切，這還用說？)，這就是無約束最優(yōu)化問題；看見那山了嗎？要是在山腰畫一道線，線那邊是禁區(qū)，那從山下往上爬，盡管山坡還在繼續(xù)往上延伸，山頂還更高，但是到線為止，不得逾越，那山腰上那道“三八線”就是最高點(diǎn)(切，這還用說？)，這變成了約束最優(yōu)化問題。當(dāng)然，山腰那道“三八線”要是畫到山背面去了，可以無限制地爬上山頂，這山頂還是最高點(diǎn)，又回歸到無約束最優(yōu)化問題了。這就是龐特里亞京極大值原理的基本原理。當(dāng)然啦，龐特里亞京是用精巧、深?yuàn)W的數(shù)學(xué)語言表述的，要不然他在數(shù)學(xué)界里也別混了。不過呢，意思就是這么一個(gè)意思。

圖1 最高點(diǎn)在哪里？羊走得到的最高的地方，最高點(diǎn)就在那里

龐特里亞京極大值原理的一個(gè)典型應(yīng)用就是所謂最速控制問題，或者叫時(shí)間最優(yōu)控制(Time Optimal Control)問題。簡(jiǎn)單地說，就是給定最大馬力和最大制動(dòng)功率，問題是怎么開汽車能夠最快地從A點(diǎn)開到B點(diǎn)(什么轉(zhuǎn)彎、上下坡、紅綠燈，這種瑣碎的事情也要拿來煩人？一點(diǎn)品味都沒有！)。你可以用優(yōu)美但煩瑣的數(shù)學(xué)求證，或者用膝蓋想想：最快的方法，就是一上來就一腳油門踩到底，加足馬力，全速前進(jìn)；然后在終點(diǎn)前的某一地點(diǎn)，一腳制動(dòng)踩到底，全力減速，使慢下來的汽車在觸及終點(diǎn)時(shí)正好停下來。這是最快的方法，不可能比這更快了。稍微發(fā)揮一點(diǎn)想象力，可以想象：一上來就“梆”地一下，加速踏板一腳到底；再掐好時(shí)機(jī)“梆”地一下，制動(dòng)踏板一腳到底，坐等車子漂移到終點(diǎn)線正好停下來，控制任務(wù)就完成了。所以最速控制也叫“梆－梆”控制(Bang Bang Control)。

圖2 從A到B要最快該怎么開？一起動(dòng)就油門踩到底，算好差不多了制動(dòng)踏板踩到底，正好飄到停車線停下。這是最快的，不可能更快了。這就是最速控制，也叫“梆-梆”控制

最速控制在理論上是一個(gè)很有趣的問題，解法也很簡(jiǎn)潔、優(yōu)美，但在實(shí)際中直接使用的例子實(shí)在是鳳毛麟角。一般都是開始時(shí)用放水版的“梆-梆”，或者快速但均勻加減速到控制極限，以緩和控制的沖擊力；到終點(diǎn)附近時(shí)，改用PID做閉環(huán)微調(diào)，以克服“梆-梆”對(duì)系統(tǒng)模型誤差十分敏感的缺點(diǎn)。電梯控制就是這樣一個(gè)例子：電梯要從一樓到四樓，一起動(dòng)電動(dòng)機(jī)就很快勻速上升到最高轉(zhuǎn)速，一過三樓，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)入PID控制，根據(jù)電梯實(shí)際位置和樓面位置之差，有控制地減速，直至停下來。要是控制參數(shù)調(diào)得好，一下子就穩(wěn)穩(wěn)當(dāng)當(dāng)?shù)赝Ｏ聛砹恕?/span>

最速控制問題是較早的最優(yōu)控制問題，它提供了一個(gè)很有趣的思路，但這顆樹上開花結(jié)果不多。相比之下，最優(yōu)控制的另外一支卻枝繁葉茂，有生氣得多了。這一支就是線型二次型最優(yōu)控制(Linear Quadratic Control).數(shù)學(xué)是有趣的，但數(shù)學(xué)也是盲目的。在數(shù)學(xué)上，最優(yōu)化問題就是一個(gè)在曲面上尋找凸點(diǎn)(或者凹點(diǎn)，兩者在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的)的問題，只要你能把一個(gè)物理問題表述成一個(gè)曲面，數(shù)學(xué)是不理會(huì)芙蓉姐還是黛玉妹的。既然如此，偏差的二次方在時(shí)間上的積分就是很自然的最優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。二次方抹殺了正負(fù)偏差的區(qū)別，時(shí)間積分則一網(wǎng)打盡從過去到現(xiàn)在所有時(shí)間的偏差。累計(jì)都最小化了，任意時(shí)間上的瞬時(shí)偏差肯定也小。二次型就是二次方在線性代數(shù)里的說法。

線型系統(tǒng)的偏差二次方有很好的性質(zhì)，這山峰是一個(gè)饅頭山，平滑光順，形狀規(guī)整，沒有懸崖峭壁，沒有溝壑坎坷，容易爬；一山只有一峰，不用擔(dān)心找錯(cuò)地方。不過這山峰不能只包含控制偏差，還要包含控制量，原因有三個(gè)：

1)如果不包括控制量，那最優(yōu)控制的解是沒有意義的，因?yàn)闊o窮大的控制量可以使累計(jì)二次方偏差為無窮小，但無窮大的控制量是不現(xiàn)實(shí)的。

2)控制量的大小通常和能量、物料的消耗連在一起，實(shí)際控制問題一般是“在最小能量、低消耗情況下達(dá)到最高的控制精度”，所以在“山峰”中同時(shí)包含偏差和控制量是很自然的，這確保偏差和控制量均衡地同時(shí)達(dá)到最小。

3)系統(tǒng)模型總是有誤差的，誤差“總是”在高頻、大幅度控制作用下最突出，為了降低系統(tǒng)對(duì)模型誤差的敏感性，也有必要限制控制量的大小和“活躍度”。

所以，線性二次型最優(yōu)控制的“目標(biāo)函數(shù)”(也就是山峰形狀的數(shù)學(xué)表述)是一個(gè)控制偏差和控制量各自二次方的加權(quán)和的積分。積分當(dāng)然就是“在時(shí)間上的累積”了，加權(quán)和其實(shí)就是在控制偏差的二次方項(xiàng)和控制量的二次方項(xiàng)前分別乘以比例因子，然后再相加。兩個(gè)比例因子的具體數(shù)值不太重要，但相對(duì)大小決定了誰更重要。如果偏差項(xiàng)的加權(quán)更大，則控制精度的要求更高，但控制量就相對(duì)放任一點(diǎn)；如果控制項(xiàng)的加權(quán)更大，則控制量的使用就精打細(xì)算，而偏差就不能要求太高了。魚和熊掌總是不能兼得的，兩種做法各有各的用處。對(duì)于高精度但不惜工本的控制問題，偏差項(xiàng)加權(quán)可以大一點(diǎn)；對(duì)于馬馬虎虎就行了但要勤儉持家的控制問題，控制項(xiàng)加權(quán)應(yīng)該大一點(diǎn)。

運(yùn)用矩陣微分和線性代數(shù)工具，不難導(dǎo)出線性二次型控制律，而且這是一個(gè)基本的狀態(tài)反饋控制律！只是反饋增益矩陣是按最優(yōu)化的要求計(jì)算出來的，而不是線性控制里按照零極點(diǎn)配置計(jì)算出來的。

線性二次型最優(yōu)控制開創(chuàng)了一整個(gè)新的控制領(lǐng)域，很快從狀態(tài)空間走出來，進(jìn)入其他領(lǐng)域，繁衍子孫，人丁興旺。這一支是當(dāng)今最優(yōu)控制在實(shí)際應(yīng)用中的主體。

線性二次型控制具有各種各樣的優(yōu)點(diǎn)，但是，線性二次型沒有回答一個(gè)最基本的控制問題：這個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)是不是穩(wěn)定。這里，我們飽受惦記的怪人李亞普諾夫出場(chǎng)了，李亞普諾夫也是一個(gè)腦子搭錯(cuò)筋的人，一百多年前，玩微分方程玩邪了門，整出兩個(gè)穩(wěn)定性(或者叫作收斂性)的定理。前一個(gè)沒有什么太了不起的，就把非線性系統(tǒng)局部線性化，就是把一根曲線用很多一小段、一小段的直線近似，然后按線性來分析。后一個(gè)就有點(diǎn)邪門了，老李琢磨出一個(gè)定理，說是對(duì)于任意一個(gè)系統(tǒng)，如果能找到一個(gè)自我耗散的能量函數(shù)(能量函數(shù)在數(shù)學(xué)中也叫作正定函數(shù))，也就是其數(shù)值永遠(yuǎn)為正，但隨時(shí)間漸進(jìn)地趨向零，或者說如果這個(gè)能量函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)永遠(yuǎn)為負(fù)，那這個(gè)系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。據(jù)說定理的證明是一個(gè)天才的杰作，我等凡人只有頻頻點(diǎn)頭的份。不過想想也對(duì)，系統(tǒng)的能量都耗散沒了，系統(tǒng)不也就消停下來了嗎？當(dāng)然就穩(wěn)定嘍。

李亞普諾夫比卡爾曼還要數(shù)學(xué)家，他的定理只給出“如果存在......就......”，怎么找這個(gè)自我耗散的能量函數(shù)他沒說，這個(gè)函數(shù)一般是什么樣的他也沒說。這難不倒搞自動(dòng)控制的廣大善男信女。不是要正定函數(shù)嗎？不是對(duì)正定函數(shù)的形式?jīng)]有限制嗎？那就用偏差的二次方吧。二次方了就永遠(yuǎn)是正的，正好符合李亞普諾夫的要求。那自我耗散呢？先求導(dǎo)再說，不是有反饋增益矩陣嗎？湊湊弄弄，說不定能湊出個(gè)導(dǎo)數(shù)為負(fù)。

說干就干，但是干著干著，好玩的事情出現(xiàn)了，對(duì)偏差二次方(或二次型)的求導(dǎo)，導(dǎo)出了和線性二次型最優(yōu)控制推導(dǎo)過程中同樣出現(xiàn)的所謂黎卡蒂方程(Riccati Equation),感情這是殊途同歸呀！

換句話說，線性二次型控制總是穩(wěn)定的。想想也對(duì)，線性二次型的時(shí)間積分是從零到無窮大，只有偏差漸進(jìn)趨向零了，或者說閉環(huán)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，這時(shí)間積分才是有限的，否則時(shí)間積分本身就是發(fā)散的，也談不上什么最優(yōu)了。這是線性二次型控制的一個(gè)重要貢獻(xiàn)：把最優(yōu)性和穩(wěn)定性連到一起。這也指出了一個(gè)非常重要的事實(shí)：控制理論在本質(zhì)上是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)是相通的，可以殊途，但弄到最后，總是同歸。不同的方法弄到最后常常是等價(jià)的。

再扯一句李亞普諾夫，他的第二個(gè)定理非常威猛，但是有點(diǎn)像一個(gè)奇形怪狀的大錘，到現(xiàn)在人們還在找合適的釘子，好用這把大錘砸?guī)紫?。線性二次型控制是已知的僅有的幾個(gè)釘子之一，另一個(gè)是變結(jié)構(gòu)控制(Variable Structure Control),也稱滑模控制(Sliding Mode Control)，適用于很大一類非線性問題，也可以用李亞普諾夫方法。只要存在一個(gè)穩(wěn)定的線性“滑?！?，就可以計(jì)算出確保穩(wěn)定的控制律。但除了特殊結(jié)構(gòu)(或者說處于特定標(biāo)準(zhǔn)型)的系統(tǒng)，這個(gè)穩(wěn)定的線性滑模很不容易找。換句話說，正面攻不上，可以試圖側(cè)面攻，似乎勢(shì)如破竹，直搗龍門。但存在真正艱難的“硬核”的話，換個(gè)方向攻，最后撞上的是同一個(gè)硬核的另一個(gè)面，真是又殊途同歸了。本質(zhì)艱難的問題弄到最后還是要硬啃，繞是繞不過去的。但這是題外話了。

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作者：[加]晨楓